常见离散傅里叶变换表，傅里叶变换公式和离散傅里叶变换

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一、离散傅里叶变换的定义

1、离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将信号从时域转换到频域，使用谱分析来分析信号的频率成分的数学变换方法。它由方形函数定义，其振幅与时域中的正弦波的振幅正相关，但相位与时域中的脉冲振幅正相关。

2、简单地说，离散傅里叶变换是一种用于从数据序列中提取频率谱信息的变换。它将一个时域信号转换成其对应的频率域信号，可以将一个时域信号分解成多个正弦和余弦信号的序列。

3、离散傅里叶变换的目的是使时间域信号更容易分析和处理。因为离散傅里叶变换可以将复杂的时间域信号转换成一组幅度和相位/频率参数，可以用它来表征或滤波某个信号。

二、离散傅里叶变换的数学背景

1、总的来说，离散傅里叶变换是由定积分组成的，其解析式是一系列有着正弦和余弦函数的变换。这种变换可以用泰勒级数进行拟合，也可以用快速傅里叶变换（FFT）来求解。

2、离散傅里叶变换的基本思想是将某一时域信号的每个样本映射为一个复值，构成一个复值的序列。这个复值序列通过离散傅里叶变换可以变换为另一个复值序列，其中每个样本表示其频率分量。

3、离散傅里叶变换也可以用来实现低通滤波和降采样等应用，因为傅里叶变换能够将信号不稳定的高频部分抑制，只保留低频信号的特征分量。所以通过离散傅里叶变换可以快速实现信号的滤波处理和降采样处理。

三、实际应用

1、离散傅里叶变换广泛应用于谱分析和低通滤波等领域，它能够准确地反映信号的频谱分布，可以用来分析信号的频率组成和特性，从而实现滤波和数字信号处理，在语音识别、通信、控制系统等多个工程领域有着广泛的应用。

2、此外，离散傅里叶变换还有很多其它的应用，例如几何处理、图像处理、实时数据分析、网络传输、阵列处理以及音频处理等领域都使用到离散傅里叶变换技术。而且，离散傅里叶变换不仅可以应用在实时系统，也可以用于历史数据分析。

3、对于离散傅里叶变换，由于存在有限数据量和数据采样率，如果不小心处理将会出现重叠或模糊等现象，可能会给系统应用带来负影响，因此使用者一定要特别小心，充分分析和测试待处理的信号，以确保其达到自己的要求。

一、什么是离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（discrete fourier transform,DFT），是一种现代数字信号处理的一项重要基础技术，它是一个从时域信号到频域信号的非线性变换，可以把时域信号变换为频埿信号，同时也可以反过来把频域信号变换为时域信号。在经典的信号处理中，傅里叶变换是用来把连续信号变换到频域信号。而在现代数字信号处理中，则是采用离散傅里叶变换来处理离散信号，能够有效地提高信号处理的效率。

二、离散傅里叶变换的基本原理

1、定义：离散傅里叶变换是指应用一维n点（或二维m×n点）离散信号，通过与n个基函数的和式线性组合，把信号从时域转换到频域形成一个n维（或m×n维）频域分量的一种变换。其中，基函数定义为N个复交辐射基函数组成的基函数矩π：

$F(x) = \\sum\\limits_{k=0}^{N-1}a_k \\cdot \\pi_k(x)$

其中$\\pi_k(x)$为第k个基函数，$a_k$为当前计算所需要的系数。

2、变换：离散傅里叶变换是把一段时域信号的连续变化按照正弦或余弦函数的半径进行分段，逐步进行离散化，当时间变化越长，得到的离散点越多，这些离散点组成的一维序列就构成离散傅里叶变换。其过程可以描述为：

（1）提取低频信号分量$A_0$，以及提取高频信号分量。

（2）给定一段时间形成序列s，根据基函数变换算法$X_0$ = （$A_0$），n个低频分量$X_1$ = （$A_1 \\cdot C_1,A_2 \\cdot C_2,……A_n \\cdot C_n$），n个高频分量$X_2$ = （$A_1 \\cdot S_1,A_2 \\cdot S_2,……A_n \\cdot S_n$）。

（3）得到一维n点DFT序列$X$ = （$X_0, X_1, X_2$）。

三、离散傅里叶变换的应用

1、离散傅里叶变换在数字信号处理中的主要应用：离散傅里叶变换在现代数字信号处理中有着非常广泛的应用，比如在图像处理中可以进行快速傅里叶变换、快速傅里叶逆变换等；它也是滤波器设计中最常用的数学工具，比如低通滤波器和高通滤波器等；也可以用离散傅里叶变换对复杂的信号进行分析，从而获取有用的信息；此外，还可以通过离散傅里叶变换，把一个信号重建出来，从而实现信号处理和音频信号处理中的时频转换等等。

2、离散傅里叶变换在数据通信和编码中的应用：离散傅里叶变换可以有效地分析信号序列，实现时频域上的转换，比如在数据通信中用来处理调制解调过程，码分多址（CDMA）信息处理，以及视频编解码中的频域信号处理等等，在此过程中离散傅里叶变换可以很好地实现，从而实现信号处理的高效性。

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