递归函数改非递归，递归算法与递归函数

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（一）递归算法的概念

1. 递归算法是一种问题解决方案分析思想，指将一个大型、复杂的问题 分解为相同但规模更小的一系列子问题，直到问题规模变得足够小，可以直接求解。它通常可以用不同的方法（算法）实现，且将子问题结果保存以备用，从而获得最终的解法。

2. 与普通算法不同，递归算法的处理流程是循环的，从小规模的问题开始，依次拓展扩大，直到达到最大解释为止。该过程可以看作一种树状结构，即顶点和支点的组合形成的树状分析方法。递归算法的核心是通过一系列子问题来求解整个问题，一般称之为“子程序”。

3. 递归算法在数学上是一种分析技术，主要用于求解一个满足若干性质的问题。其关键在于递归地对问题“分解”，然后将其“合并”，而合并的结果就是该问题的解。因为递归的过程可以一直重复下去，所以每次重复所产生的新子问题都会被解决，而这种重复的过程本身就是在逐步求解原始问题的过程。

（二）递归算法的优点

1. 优点一：递归算法可以让大型、复杂的问题分解为小规模的子问题，并使用逐步分解、合并来获得解决方案，大大增强程序的可读性。

2. 优点二：递归算法可以显示出内部机制和内在模式，有助于程序员理解问题本质，以及分析潜在的模式。

3. 优点三：递归算法减少了算法编写的重复工作量，简化程序，提高代码的复用性，提高了程序的维护性。

4. 优点四：递归算法可以以合理的时间复杂度实现大多数算法任务，这类算法经常出现在搜索，排序，图像处理等高难度问题中。

（三）递归算法的缺点

1. 缺点一：递归算法会降低程序的执行效率，一些简单的问题就需要大量计算机做多次重复性的工作，这就大量消耗计算机资源，显然不利于计算机效率的提高。

2. 缺点二：递归算法不容易优化，可能会出现更多的时间复杂度，也就是维护的程序可读性和可靠性难度会变大，使得程序的维护成为一个新的挑战。

3. 缺点三：因为递归算法中一般有大量的反复调用，使得计算机会大量使用硬盘空间作为存储，这样就会影响另一个程序的使用，有时会引起系统故障。

1、埃拉托色尼递归法：递归法的概念由希腊数学家埃拉托色尼在公元前三世纪提出，他曾用递归法解决了“埃拉托色尼级数”问题。埃拉托色尼级数是以和1/1,1/4,1/9,…,1/n2…为构成的函数，从属于初等函数，而且其是递归函数，它利用归纳法习得后续项的推理规则：若arr[i]表示第i项，则有arr[i+1]=1/(i+1)2 +arr[i]，即第i+1项等于1/(i+1)2加上第i项的和，而这两个部分均使用有可以算出的公式表示。

2、笛卡尔改进递归法：17世纪，法国数学家笛卡尔对埃拉托色尼的递归法进行了改进，他发现递归函数可以表示为一个满足某些算数特征的函数组成的数列，例如：满足arr[i]：=1/(i+1) +arr[i-1] 和arr[0]=1的级数， 这个数列就是由笛卡尔改进的递归函数开始的。

3、高斯递归法：在18世纪，德国数学家高斯对埃拉托色尼的递归法和笛卡尔的改进的递归法进行了进一步的研究。他利用积分和变分的技术，开创出了一种新的递归法——高斯递归法。他把递归函数表示为一个各元素积分和变分之积构成的数列，当积分函数和变分函数满足一定条件时，高斯递归法可以用来计算这样的函数数列和其他类似数列。

4、卡尔曼递归法：德国数学家卡尔曼在二十世纪初采用了分析学和数学统计，发展了卡尔曼递归法，即用有限规模的积分和变分，可以计算这样的函数数列和其他类似数列。卡尔曼的递归法， 将分析学和数学统计的原理和有限规模的积分和变分的技术完美结合，用序列诸项的出现特性建立的模型，从而得到非常准确的递归算法。

5、贝叶斯递归方法：贝叶斯定理是现代概率学中的重要理论，贝叶斯定理表明，只要给定两个事件，多次独立实验表明，在某一实验现象出现过程中，本次实验结果与上次实验结果是相互独立的。基于这一特点，贝叶斯递归法将贝叶斯定理结合迭代方式，在前次实验发现结果的基础上，偏向于下一次实验，以达到逼近真实结果的目的，不断更新迭代，实现最优准确率，也就是所谓的贝叶斯定理，从而实现了一个递归算法。

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